Weibull com falhas e suspensões: comparação numérica de dois ajustes

Excluir duas observações sem falha muda muito o ajuste de uma mesma amostra de Weibull. Na simulação deste artigo, a análise completa estima probabilidade acumulada de falha em 500 horas de aproximadamente 64,03%. Mantendo apenas as três falhas, o valor sobe para aproximadamente 99,985%. A diferença vem da informação retirada, não de eventos novos.

Os números resultam de máxima verossimilhança para Weibull de dois parâmetros. A amostra tem cinco observações, três falhas e duas suspensões. Ela serve para conferir o cálculo e o efeito de seleção da base. Não sustenta uma nova periodicidade de manutenção nem representa resultado do PM RUN. Beta, eta e o papel da suspensão estão no artigo de análise de Weibull.

Comece pela mesma amostra nos dois ajustes

Cada linha representa um componente acompanhado desde um início comparável. As falhas alvo ocorreram em 100, 200 e 300 horas. Dois componentes chegaram a 500 horas sem apresentar essa falha; o acompanhamento terminou nesse ponto. Os tempos estão em horas e as suspensões são censuras à direita.

No ajuste completo, n = 5 e d = 3. A soma dos tempos observados é 100 + 200 + 300 + 500 + 500 = 1.600 h. No segundo ajuste, D e E são indevidamente excluídos; restam três linhas e 600 horas observadas. Essa soma ajuda a conferir a base, mas não é suficiente para calcular os parâmetros de Weibull.

O NIST descreve observações censuradas. Aqui, D e E informam que o tempo até a falha ultrapassou 500 horas. Eles não informam quando a falha acontecerá. Registrá-los como falhas em 500 horas inventaria eventos; apagá-los perderia a informação de sobrevivência.

Declare a função e as hipóteses

Usamos a distribuição de Weibull sem parâmetro de localização, com forma beta, escrita como β, e escala eta, escrita como η. Para tempo t positivo, a probabilidade acumulada é F(t) = 1 − exp[−(t/η)^β], e a sobrevivência é S(t) = exp[−(t/η)^β]. Eta usa horas; beta é adimensional.

A aplicação pressupõe a mesma população e modo de falha, observações independentes e censura não informativa. Nesta simulação, o fim do acompanhamento em 500 horas não foi causado por uma decisão baseada em deterioração particular dos dois sobreviventes. Se a retirada estivesse ligada ao risco de falha, esse tratamento exigiria revisão.

O caso também pressupõe tempos até a primeira falha a partir de uma origem comparável. Não aplique diretamente essa distribuição de vida a uma lista de visitas de manutenção ou a intervalos sucessivos de um sistema reparável sem avaliar o modelo adequado. O artigo de análise de Weibull apresenta os conceitos gerais; aqui a decisão é reproduzir dois ajustes da mesma base.

Inclua densidade nas falhas e sobrevivência nas suspensões

A verossimilhança combina contribuições distintas. A linha com falha conhecida contribui com a densidade no tempo observado. A linha suspensa contribui com a probabilidade de sobreviver até seu tempo de acompanhamento. O NIST apresenta a estimação por máxima verossimilhança com censura.

f(t) = (β/η) × (t/η)^(β−1) × exp[−(t/η)^β]
L = f(100) × f(200) × f(300) × S(500) × S(500)

Para reproduzir o ajuste, use os valores numéricos dos tempos em horas. Com d falhas, a equação para eta e a equação de beta podem ser escritas como abaixo. A soma de potências inclui todas as observações; a soma dos logaritmos simples inclui apenas as falhas. Os logaritmos referem-se aos valores numéricos expressos nessa unidade.

η = [Σ(t_i^β)/d]^(1/β)
0 = d/β + Σ_falhas ln(t_i)
    − d × [Σ(t_i^β × ln(t_i))/Σ(t_i^β)]

A segunda equação é resolvida numericamente para beta. Depois, a primeira fornece eta. O número d continua três no ajuste completo, pois suspensão não é falha. Trocar d por cinco altera o modelo e produz outra conta.

Compare parâmetros e probabilidade acumulada

No ajuste completo, substitua t = 500, β = 1,311222 e η = 491,5581. A expressão 1 − exp[−(500/491,5581)^1,311222] resulta em aproximadamente 0,6403336. No ajuste sem sobreviventes, use beta 2,738573 e eta 225,8586; a mesma expressão resulta em aproximadamente 0,9998514.

O numerador de t/η é o tempo avaliado; o denominador é a escala estimada. Ambos estão em horas, deixando a razão adimensional. A diferença entre as probabilidades é cerca de 35,95 pontos percentuais. Isso não mede uma melhora ou piora do equipamento: os eventos são os mesmos e o que mudou foi a base usada no ajuste.

Não transforme a comparação em periodicidade

O ajuste sem suspensões descreve uma amostra selecionada justamente por ter falhado cedo. Ele deixa de representar a informação disponível sobre os cinco componentes. Já o ajuste completo aproveita essa informação, mas continua limitado por apenas três falhas e pelas hipóteses do modelo.

Beta maior que um, nesta conta, não estabelece sozinho uma tarefa nem seu intervalo. Decidir manutenção exige mecanismo, consequência, aplicabilidade da ação, contexto e incerteza. Um valor de F(500) calculado não é uma meta de risco aceita e não autoriza escolher 500 horas como periodicidade.

Confira o ajuste antes de usar sua conclusão

1. Reconstrua as cinco linhas e preserve os dois tipos de observação.
2. Verifique unidade, origem do tempo e modo de falha.
3. Confirme d igual a três nas duas contas.
4. Resolva beta e calcule eta sem arredondar prematuramente.
5. Recalcule F(500) com cada par de parâmetros.
6. Apresente seleção da base, hipóteses e pequena amostra junto do resultado.

Na execução pela PM RUN, o técnico fecha a ordem com código de dano e de causa escolhidos no catálogo do SAP, com a data e a duração da intervenção no mesmo registro. É esse histórico por equipamento que sustenta um ajuste como o deste artigo, em vez de uma lista remontada de memória depois do evento.

Para organizar indicadores básicos de tempos, consulte a calculadora de MTBF e MTTR. Ela não ajusta Weibull e não reproduz a estimação desenvolvida aqui. A comparação deste artigo precisa de um procedimento estatístico que preserve as suspensões.